#1339. 「CSP-S 2019」 F. 树的重心

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题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: rainy

题目描述

小简单正在学习离散数学,今天的内容是图论基础,在课上他做了如下两条笔记:

  1. 一个大小为 n 的树由 n 个结点与 n − 1 条无向边构成,且满足任意两个结点间有且仅有一条简单路径。在树中删去一个结点及与它关联的边,树将分裂为若干个子树;而在树中删去一条边(保留关联结点,下同),树将分裂为恰好两个子树。
  2. 对于一个大小为 n 的树与任意一个树中结点 c ,称 c 是该树的重心当且仅当在树中删去 c 及与它关联的边后,分裂出的所有子树的大小均不超过 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor (其中 \lfloor x \rfloor 是下取整函数)。对于包含至少一个结点的树,它的重心只可能有 1 或 2 个。

课后老师给出了一个大小为 n 的树 S ,树中结点从 1 \sim n 编号。小简单的课后作业是求出 S 单独删去每条边后,分裂出的两个子树的重心编号和之和。即:

\sum_{(u,v) \in E} \left( \sum_{1 \leq x \leq n \atop 且 x 号点是 S'_u 的重心} x + \sum_{1 \leq y \leq n \atop 且 y 号点是 S'_v 的重心} y \right)

上式中, E 表示树 S 的边集, (u,v) 表示一条连接 u 号点和 v 号点的边。 S'_u S'_v 分别表示树 S 删去边 (u,v) 后, u 号点与 v 号点所在的被分裂出的子树。

小简单觉得作业并不简单,只好向你求助,请你教教他。

输入格式

本题包含多组测试数据

第一行一个整数 T 表示数据组数。

接下来依次给出每组输入数据,对于每组数据:

第一行一个整数 n 表示树 S 的大小。

接下来 n − 1 行,每行两个以空格分隔的整数 u_i v_i ,表示树中的一条边 (u_i,v_i)

输出格式

T 行,每行一个整数,第 i 行的整数表示:第 i 组数据给出的树单独删去每条边后,分裂出的两个子树的重心编号和之和。

样例

样例输入

2
5
1 2
2 3
2 4
3 5
7
1 2
1 3
1 4
3 5
3 6
6 7

样例输出

32
56

样例解释

对于第一组数据:

删去边 (1,2) ,1 号点所在子树重心编号为 \{1\} ,2 号点所在子树重心编号为 \{2,3\}

删去边 (2,3) ,2 号点所在子树重心编号为 \{2\} ,3 号点所在子树重心编号为 \{3,5\}

删去边 (2,4) ,2 号点所在子树重心编号为 \{2,3\} ,4 号点所在子树重心编号为 \{4\}

删去边 (3,5) ,3 号点所在子树重心编号为 \{2\} ,5 号点所在子树重心编号为 \{5\}

因此答案为 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 5 = 32

数据范围与提示

测试点编号 n = 特殊性质
1 \sim 2 7
3 \sim 5 199
6 \sim 8 1999
9 \sim 11 49991 A
12 \sim 15 262143 B
16 99995
17 \sim 18 199995
19 \sim 20 299995

表中特殊性质一栏,两个变量的含义为存在一个 1 \sim n 的排列 p_i (1 \leq i \leq n) ,使得:

  • A:树的形态是一条链。即 \forall 1 \leq i \lt n ,存在一条边 (p_i, p_i + 1)
  • B:树的形态是一个完美二叉树。即 \forall 1 \leq i \leq \frac{n-1}{2} ,存在两条边 (p_i, p_{2i}) (p_i, p_{2i+1})

对于所有测试点: 1 \leq T \leq 5 , 1 \leq u_i,v_i \leq n 。保证给出的图是一个树。