#1338. 「CSP-S 2019」 E. 划分

内存限制:1024 MiB 时间限制:2000 ms 输入文件:partition.in 输出文件:partition.out
题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: rainy

题目描述

2048 年,第三十届 CSP 认证的考场上,作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 n 组数据,数据从 1 \sim n 编号, i 号数据的规模为 a_i

小明对该题设计出了一个暴力程序,对于一组规模为 u 的数据,该程序的运行时间 u^2 。然而这个程序运行完一组规模为 u 的数据之后,它将在任何一组规模小于 u 的数据上运行错误。样例中的 a_i 不一定递增,但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例,于是小明决定使用一种非常原始的解决方案:将所有数据划分成若干个数据段,段内数据编号连续,接着将同一段内的数据合并成新数据,其规模等于段内原数据的规模之和,小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说,小明需要找到一些分界点 1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n ,使得

\sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i

注意 p 可以为 0 且此时 k_0 = 0 ,也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下,运行时间也能尽量小,也就是最小化

(\sum_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2

小明觉得这个问题非常有趣,并向你请教:给定 n a_i ,请你求出最优划分方案下,小明的程序的最小运行时间。

输入格式

由于本题的数据范围较大,部分测试点的 a_i 将在程序内生成。

第一行两个整数 n, type n 的意义见题目描述, type 表示输入方式。

  1. type = 0 ,则该测试点的 a_i 直接给出。输入文件接下来:第二行 n 个以空格分隔的整数 a_i ,表示每组数据的规模。
  2. type = 1 ,则该测试点的 a_i 特殊生成,生成方式见后文。输入文件接下来:第二行六个以空格分隔的整数 x, y, z, b_1, b_2, m 。接下来 m 行中,第 i (1 \leq i \leq m) 行包含三个以空格分隔的正整数 p_i, l_i, r_i

对于 type = 1 的 23~25 号测试点, a_i 的生成方式如下:

给定整数 x, y, z, b_1, b_2, m ,以及 m 个三元组 (p_i, l_i, r_i)

保证 n \geq 2 。若 n \gt 2 ,则 \forall 3 \leq i \leq n, b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \mod 2^{30}

保证 1 \leq p_i \leq n, p_m = n 。令 p_0 = 0 ,则 p_i 还满足 \forall 0 \leq i \lt m p_i \lt p_{i+1}

对于所有 1 \leq j \leq m ,若下标值 i (1 \leq i \leq n) 满足 p_{j−1} \lt i \leq p_j ,则有

a_i = \left(b_i \mod \left( r_j − l_j + 1 \right) \right) + l_j

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小,标准算法不依赖于该生成方式。

输出格式

输出一行一个整数,表示答案。

样例

样例输入 1

5 0
5 1 7 9 9

样例输出 1

247

样例解释 1

最优的划分方案为 \{5,1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\} 。由 5 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9 知该方案合法。

答案为 (5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247

虽然划分方案 \{5\}, \{1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\} 对应的运行时间比 247 小,但它不是一组合法方案,因为 5 \gt 1

虽然划分方案 \{5\}, \{1,7\}, \{9\}, \{9\} 合法,但该方案对应的运行时间为 251 ,比 247 大。

样例输入 2

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

样例输出 2

1256

样例解释 2

最优的划分方案为 \{5\}, \{6\}, \{7\}, \{7\}, \{4,6,2\}, \{13\}, \{19,9\}

样例输入 3

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

样例输出 3

4972194419293431240859891640

数据范围与提示

测试点编号 n \leq a_i \leq type =
1 \sim 3 10 10 0
4 \sim 6 50 10^3
7 \sim 9 400 10^4
10 \sim 16 5000 10^5
17 \sim 22 5 \times 10^5 10^6
23 \sim 25 4 \times 10^7 10^9 1

对于 type=0 的所有测试点,保证最后输出的答案 \leq 4 \times 10^{18}

所有测试点满足: type \in \{0,1\} 2 \leq n \leq 4 \times 10^7 1 \leq a_i \leq 10^9 1 \leq m \leq 10^5 1 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9 0 \leq x,y,z,b_1,b_2 \lt 2^{30}